Wartości i wektory własne – definicje i metoda wyznaczania

Definicja 1: Wartości i wektory własne macierzy kwadratowych

Liczbę zespoloną \( \lambda \) nazywamy wartością własną macierzy kwadratowej \( A \), jeżeli istnieje niezerowy wektor \( v \) taki, że

(1)

\( Av=\lambda v. \)

Każdy niezerowy wektor \( v \) spełniający równanie ( 1 ) nazywamy wektorem własnym macierzy \( A \) odpowiadającym wartości własnej \( \lambda \).

Twierdzenie 1:

Niech \( A \) będzie macierzą kwadratową. Następujące warunki są równoważne:

(a) \( \lambda \) jest wartością własną macierzy \( A \);

(b) równanie \( \left( A-\lambda I\right)\cdot v=\mathbf{0} \), w którym \( \mathbf{0} \) oznacza wektor zerowy, posiada niezerowe rozwiązanie \( v \)

Definicja 2: Wielomian charakterystyczny macierzy

Jeżeli macierz \( A \) jest macierzą kwadratową wymiaru \( n\times n \), to funkcja

\( \varphi_{A} \left( \lambda\right) =\det\left( A-\lambda I\right) \)

jest wielomianem stopnia \( n \); jest to tzw. wielomian charakterystyczny macierzy \( A \).

Warunek (c) twierdzenia 1 pozwala wnioskować, że pierwiastki wielomianu \( \varphi_{A} \) to wartości własne macierzy \( A \). Każda macierz kwadratowa wymiaru \( n\times n \) posiada zatem \( n \) wartości własnych (liczonych z krotnościami). Oznaczając te wartości własne jako \( \lambda_1,\ldots,\lambda_n, \) wielomian charakterystyczny \( \varphi_{A} \) przyjmuje postać

\( \varphi_{A}(\lambda)=a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+a_1\lambda+a_0= \)

\( =a_n (\lambda - \lambda_1) \cdots (\lambda - \lambda_n), \)

w której, co wynika z twierdzenia 1 , \( a_n=(-1)^n \) oraz \( a_0=\det(A) \).

Przykład 1: Wyznaczanie wielomianu charakterystycznego macierzy

Dla macierzy \( A \in\mathbb{R}^{3\times 3} \) postaci

\( A=\left( \begin{array}[c]{ccc}1 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ -2 & -2 & -1\end{array}\right) \)

mamy

\( \varphi_{A}\left( \lambda\right) =\det\left( A-\lambda I\right)=\left\vert \begin{array}[c]{ccc}1-\lambda & 2 & 0\\ 0 & 2-\lambda & 0\\ -2 & -2 & -1-\lambda \end{array}\right\vert= \\\hspace{2cm}=-\lambda^{3}+2\lambda^{2}+\lambda-2. \)

Z kolei, dla macierzy \( B\in\mathbb{C}^{2\times2}: \)

\( B=\left(\begin{array}[c]{cc} 1+2i & i\\-2+i & 2-i\end{array}\right) \)

mamy

\( \varphi_{B}\left(\lambda\right) =\det\left( B-\lambda I\right) =\left\vert\begin{array}[c]{cc} 1+2i-\lambda & i\\-2+i & 2-i-\lambda\end{array}\right\vert= \\ \hspace{2cm}=\lambda^{2}-\left( 3+i\right) \lambda+5+5i. \)

Przykład 2: Wyznaczanie wartości i wektorów własnych macierzy

Wielomian charakterystyczny macierzy \( A \) rozważanej w przykładzie Wyznaczanie wielomianu charakterystycznego macierzy ma postać

\( \varphi_{A}\left(\lambda\right) =-\lambda^{3}+2\lambda^{2}+\lambda-2. \)

Poszukamy pierwiastków tego wielomianu. Ponieważ

\( \varphi_{A}\left( \lambda\right) =-\lambda^{3}+2\lambda^{2}+\lambda-2=-\lambda^{2}\left(\lambda-2\right) +\lambda-2=\\ \hspace{1em} =-\left( \lambda-2\right) \left( \lambda^{2}-1\right) =-\left(\lambda-2\right) \left( \lambda-1\right) \left( \lambda+1\right), \)

zatem \( \lambda_{1}=-1 \), \( \lambda_{2}=1 \), \( \lambda_{3}=2 \) to trzy rzeczywiste wartości własne macierzy \( A \).
Dla każdej z tych wartości własnych wyznaczymy teraz odpowiadający jej wektor własny.
Dla \( \lambda_{1}=-1 \) wektor własny \( v_{\lambda_{1}}=\left(x,y,z\right)^{T} \) wyznaczymy rozwiązując, wynikające z warunku ( 1 ), równanie

\( \left(\begin{array}[c]{ccc} 2 & 2 & 0\\0 & 3 & 0\\-2 & -2 & 0\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{c} x\\y\\z\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{c} 0\\0\\0\end{array}\right). \)

Równanie to równoważne jest układowi równań

\( \left\{\begin{array}[c]{r} 2x+2y=0\\3y=0\\-2x-2y=0\end{array}\right. , \)

którego rozwiązanie ma postać \( \left( x,y,z\right) =\left(0,0,t\right) \), gdzie \( t\in\mathbb{R} \). Przyjmując za \( t \) dowolną niezerową wartość rzeczywistą (wektor zerowy nie może być wektorem własnym), otrzymujemy wektor własny odpowiadający wartości własnej \( \lambda_{1}=-1 \), np. \( v_{\lambda_{1}}=\left(0,0,1\right)^{T} \).
Dla \( \lambda_{2}=1 \) wektor własny \( v_{\lambda_{2}}=\left(x,y,z\right)^{T} \) wyznaczymy rozwiązując równanie

\( \left(\begin{array}[c]{ccc} 0 & 2 & 0\\0 & 1 & 0\\-2 & -2 & -2\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{c} x\\y\\z\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{c} 0\\0\\0\end{array}\right), \)

które równoważne jest układowi równań

\( \left\{\begin{array}[c]{r} 2y=0\\y=0\\-2x-2y-2z=0\end{array}\right.. \)

Jego rozwiązanie ma postać \( \left( x,y,z\right) =\left(t,0,-t\right) \), gdzie \( t\in\mathbb{R} \). Poszukiwanym wektorem własnym może więc być wektor \( v_{\lambda_{2}}=\left( 1,0,-1\right)^{T} \).
Dla \( \lambda_{3}=2 \) wektor własny \( v_{\lambda_{3}}=\left(x,y,z\right)^{T} \) wyznaczymy z równania

\( \left(\begin{array}[c]{ccc} -1 & 2 & 0\\0 & 0 & 0\\-2 & -2 & -3\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{c} x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}[c]{c} 0\\0\\0\end{array}\right), \)

Po prostych rachunkach otrzymujemy \( \left( x,y,z\right) =\left(2t,t,-2t\right) \), \( t\in\mathbb{R} \). Poszukiwany wektor własny odpowiadający wartości własnej \( \lambda_{3}=2 \) może więc być wybrany jako \( v_{\lambda_{3}}=\left( 2,1,-2\right)^{T} \).

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka